La persona más afortunada del mundo (cont.)

Como fué prometido en mi post de la semana anterior, aquí la respuesta al acertijo sobre la persona más afortunada del mundo.

Para recordar, yo propuse que, la persona más afortunada del mundo, sería capaz de obtener, en una especie de torneo mundial de poker, 6 juegos todos ellos siendo full o más grande. La pregunta era si tú tendrías mucha o poca probabilidad de ganarle a este sujeto dado que, en tu mano, lo que tienes son dos pares.

La respuesta depende, por supuesto, del par de pares que tengas, de cuales sean tus cartas, y cuales las cartas comunes (jugando Texas hold 'em). Y si, como bien fijo Rafael, depende de todas estas cosas, pero no depende de la “suerte” que haya tenido el oponente en juegos anteriores. Esto tiene que ver, también como dijo Rafa, con que son eventos independientes, y un poco más formalmente con el hecho de que estas distribuciones no tienen memoria.

En español: No importa que te hayas ganado ya 10 volados consecutivos, la probabilidad de ganar el 11o sigue siendo del 50%.

Para quienes quieran un número, en promedio, si llegas al final del juego y tienes dos pares, tus probabilidades de ganar son del 64%, considerablemente altas! Como ejercicio recreativo, he aquí las probabilidades de ganar contra un solo oponente y según el juego en tus manos. Estos valores los calculé haciendo simulaciones en la computadora.

	Psee	Pwin	Psee Pwin
No pair	17.39%	15.81%	2.75%
One pair	43.82%	40.74%	17.85%
Two pair	23.52%	64.24%	15.11%
Three of a kind	4.82%	72.71%	3.51%
Straight	4.61%	80.78%	3.73%
Flush	3.03%	85.00%	2.57%
Full house	2.60%	87.00%	2.27%
Four of a kind	0.17%	90.43%	0.15%
Straight flush	0.03%	94.64%	0.03%

La primera columna es la probabilidad que tienes de ver cada uno de los juegos, la segunda columna es la probabilidad que tienes de ganar dado que te salió dicho juego; la última columna es la probabilidad que tienes de que te salga ese juego y además que ganes.

Ojo, esta tabla es prácticamente inútil para tomar decisiones en un juego de verdad. Está basada en un solo oponente, y tus probabilidades dependen (como dije arriba) no sólo del tipo de juego que tengas, sino también de la configuración exacta en la mesa (las cartas que tienes tú, y las cartas comunes).

Luego, en cuanto a la afirmación sobre “la persona más afortunada del mundo” (aunque en retrospectiva es mucho más fácil de resolver del trabajo que me costó) me dio mucho gusto el poder haberla resuelto de manera prácticamente analítica, sin más simulación que la necesaria para obtener la tabla de arriba.

Es claro que si un evento ocurre, aunque sea con muy poca probabilidad, cuando repites el experimento una y otra vez, se empieza a volver cada vez más y más probable que por lo menos una vez dicho evento ocurra.

La parte interesante era entonces encontrar un evento poco probable que, cuando el experimento se repita tantas veces como personas en el mundo, se vuelva mucho más probable, pero apenas lo suficiente como para que veamos suceder el evento aproximadamente 1 vez en promedio.

Una forma de encontrar un evento con la probabilidad adecuada es, dado otro cierto evento con probabilidad p, pedir que el evento se repita con éxito unas n veces. En resumen lo que queremos buscar es una combinación de p y n tales que

Npⁿ ≈ 1
donde N, según Wikipedia, es 6,684,000,000. Para los que sepan, noten que éste es simplemente el valor esperado de éxitos en una distribución binomial con probabilidad de éxito pⁿ.

Intentando varias combinaciones de p y n, una de las que mejor funcionan es la probabilidad de ganar con un full o más (p = 2.45%, sumando los tres últimos renglones de la última columna) y cuando n es precisamente 6.

Más datos curiosos, en promedio se espera que sólo 1 persona gane los 6 juegos con full o más, pero se podrán encontrar fácilmente a más de 50 personas que hayan ganado 5 juegos con full o más. Se pueden encontrar unas 40 personas que hayan ganado con 4 pokers (four of a kind) o más, pero ninguna que haya ganado 5. Se pueden encontrar a casi 600 personas que ganen con 2 escaleras de color (straight flush), pero ninguna que haya ganado con 3.

Calcular la probabilidad de que sí exista por lo menos una persona con los 6 juegos ganados de full o más (el 76% anunciado en el post anterior) es un poco más complicado, pero también se puede hacer con las herramientas básicas que te enseñan en un curso de proba. Si alguien tiene curiosidad me puede preguntar y le paso la receta.

Efectivamente, como dice Rafael, a veces parece que no tengo nada que hacer. El problema es que si, si tengo muchos pendientes, en particular un deadline de paper para el próximo lunes 8. :-S Deseenme suerte!